第 199 章 常见基本函数的导数
经过上一次对导数定义的深入探讨，学子们对于导数这一概念已经有了初步的认识和理解。新的一天，戴浩文再次登上讲堂，准备为学子们揭开常见基本函数导数的神秘面纱。
戴浩文目光温和地看着台下的学子们，开口说道：“诸位，上回咱们初识了导数，今天咱们要更进一步，来探究一些常见基本函数的导数。”
他转身在黑板上写下了几个函数：“首先，咱们来看最简单的常数函数，比如 f(x) = C，其中 C 是一个常数。”
戴浩文停顿了一下，接着解释道：“对于常数函数，无论 x 如何变化，函数值都保持不变。那么当我们计算它的导数时，假设 x 有一个增量 Δx ，则函数的增量 Δy = f(x + Δx) - f(x) = C - C = 0 。所以，常数函数的导数为 0 。”
为了让学子们更直观地理解，他举了个例子：“就好比你有一箱固定数量的苹果，无论时间怎么过去，苹果的数量都不会变，它的变化率就是 0 。”
看到学子们露出若有所思的表情，戴浩文继续在黑板上写下：“接下来，咱们看幂函数 f(x) = x^n ，其中 n 为正整数。”
他放慢语速说道：“我们还是按照导数的定义来计算。Δy = (x + Δx)^n - x^n ，这需要用到二项式展开定理。经过一系列的化简和计算，当 Δx 趋近于 0 时，我们可以得到 f'(x) = n x^(n - 1) 。”
担心学子们被复杂的计算过程弄晕，戴浩文又以 f(x) = x^2 为例，逐步演示了计算过程。
“大家看，对于 f(x) = x^2 ，Δy = (x + Δx)^2 - x^2 = 2x Δx + (Δx)^2 ，那么 Δy/Δx = 2x + Δx ，当 Δx 趋近于 0 时，导数就是 2x 。”
“再比如 f(x) = x^3 ，你们按照刚才的方法自己试着推导一下。”戴浩文给学子们留出了思考的时间。
随后，他又讲到了指数函数：“咱们来看 f(x) = e^x ，这是一个非常重要且特殊的函数。”
戴浩文在黑板上写下推导过程：“Δy = e^(x + Δx) - e^x = e^x (e^Δx - 1) ，当 Δx 趋近于 0 时， (e^Δx - 1) / Δx 的极限是 1 ，所以 f'(x) = e^x 。”
“这意味着 e^x 的导数还是它本身，是不是很奇妙？”戴浩文笑着说道。
接着是对数函数，戴浩文说道：“对于 f(x) = ln x ，同样按照定义来计算，经过一番推导，我们可以得到 f'(x) = 1 / x 。”
为了加深学子们的印象，戴浩文又列举了一些实际的问题，比如物体的增长速度、曲线的变化趋势等，让学子们运用所学的导数知识进行分析。
“假设一个细菌的数量按照指数函数增长，已知初始数量和增长时间，你们能求出某一时刻的增长速度吗？”
学子们纷纷动笔计算，戴浩文在教室里巡视，不时给予指导和提示。
“还有，如果一个物体的运动轨迹符合某个幂函数，你们能判断它在某一点的速度是增加还是减少吗？”
在戴浩文的引导下，学子们积极思考，热烈讨论，课堂气氛十分活跃。
“大家看这道题。”戴浩文在黑板上写下一道综合了多种基本函数的导数问题，“我们需要先分别求出每个函数的导数，然后再根据题目条件进行计算。”
他一步一步地讲解着解题思路，强调着每一个关键的步骤和容易出错的地方。
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